M01 数理统计工具箱

层级：L0 入门与全景 ｜ 优先级：★★★（按需查阅）｜ 预计学时：首轮 8 小时，之后随模块回查 对应原书：GK 附录 C；因子 2.2、2.4.3、2.6；陈 7.3 前置知识：M00 的夏普与 √252 约定。因子回归的经济含义在 M05 和 M06。 读书笔记：GK 附录 C · 因子第 2 章推断 状态：reviewed 数据截至：2026-09｜最近复核：2026-10-22

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学习目标

1. 用同一套定义计算简单收益、对数收益、CAGR、年化波动和夏普，并指出定义换了之后哪个数会变。
2. 用手算完成一个五天样本的偏度，以及一个四点样本的 OLS 斜率。
3. 把「t ≈ 年化夏普 × √年数」推导到和 src/quant/backtest/metrics.py 的夏普一致，并把它和 Lo (2002) 的夏普标准误分开。
4. 说明一次检验的 p 值、试了 50 次之后的 Bonferroni 门槛、Newey–West 标准误各自在防什么。
5. 用实验室种子数据说出：正态参照会把日跌 5% 的次数低估多少，以及一元回归的 t 值在 HAC 之后如何变化。

本章知识拓扑图

M01 不生产交易信号。它规定后面每一章在说「显著」「年化」「相关」时用的是哪一个估计量。

flowchart TB
    P[复权价格] --> R[简单收益 / 对数收益]
    R --> D[均值 波动 偏度 峰度]
    D --> SR[夏普]
    SR --> T[t ≈ SR × √年数]
    R --> REG[OLS：α β R²]
    REG --> SE[普通标准误]
    REG --> HAC[Newey–West]
    SE --> MT[多重检验门槛]
    HAC --> MT
    R --> TS[自相关 平稳 协整]
    D --> TAIL[肥尾：回撤与 CVaR 交给 M04]
    REG --> FAC[时序回归交给 M06]
    TS --> PAIR[配对交易交给 M02]

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🟢 入门层：直觉与第一性原理

统计量是压缩。把两千个日收益压成一个夏普之后，信息会丢掉，丢掉的部分往往就是亏损的形状。本章的习惯是：先写清估计量的公式，再问这个公式假定了什么独立性，最后才看一个数大不大。

1. 两种收益率，对应两种加法

简单收益回答「这一期账户变了几个百分点」。对数收益回答「把很多期的变化连加，是否还等于整段的变化」。

	简单收益 Rₜ	对数收益 rₜ = ln(1 + Rₜ)
跨资产	组合收益是成分简单收益的加权和	加权对数收益不是组合的对数收益
跨时间	必须连乘 (1 + R₁)(1 + R₂) − 1	可以直接相加
价格小幅波动	两者几乎相同	两者几乎相同
单日 ±20%	必须用简单收益记净值	对数收益仍可加，但百分比含义差一截

个人账户里最常见的两处用错：

• 未复权价格把分红和拆股记成暴跌。yfinance 要写 auto_adjust=True。本仓库实验室种子里的 adj_close 已经是复权价。
• 用对数收益按权重合成组合。组合净值的日变化是简单收益的加权和，权重要用前一日收盘后的权重。

2. 年化是在声明独立性

日波动乘 √252，是因为「若日收益互不相关，方差可以相加，标准差按根号相加」。美股常规年份大约 252 个交易时段。港股一年的交易日通常少一些，年化港股日收益时用该序列实际覆盖的交易日，不要把 252 当成物理常数。月频收益年化波动用 √12，不能和日频的 √252 乘在同一步里。

正自相关（趋势连着趋势）时，按独立假设年化会低估长期波动。负自相关（涨了容易回吐）时，独立假设会高估长期波动。后面的种子数据里，SPY 日收益的一阶自相关是负的，所以 √252 在这个样本上偏乐观地放大了波动。方向在这里说清，修正公式在进阶层，不把某一个修正值写成「真正的波动率」。

3. 夏普是超额收益的斜率，不是财富增长率

夏普把平均超额收益除以波动。它不回答「一年后账户多了多少」，那是 CAGR 的工作。无风险利率在 2010 年代可以近似成 0，2023 年以后美元短债利率回到 4% 以上，再把总收益除以波动，会把现金利率算进策略。本仓库的定义见 M00，和 metrics.py 相同：先减日无风险利率，再用样本标准差，最后乘 √252。

夏普的高低要和窗口、无风险利率一起读。回测夏普超过 2 的低频规则，先检查前视、幸存者和成本（M03），而不是先加杠杆。

4. 钟形分布盖不住股票的单日

偏度看左右是否对称。股票日收益常常左偏：小涨的日子多，大跌的日子少但很深。峰度看尾巴比钟形厚多少。正态的 Pearson 峰度是 3。卖波动率的账户通常左偏又厚尾，平时小赚、偶发大亏；趋势跟踪有机会右偏，很多小亏换少数大赚。这两种账户的夏普可以接近，最大回撤完全不同。M04 因此不只看波动。

相关是线性的共同变动，范围在 −1 到 1。危机里相关会升高，平时算出来的分散会在同一周消失。相关高也不表示价差会回到某个中枢。价差能否回归，问的是协整，不是相关系数。

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🟡 进阶层：公式、手算与可复现计算

本节矩估计一律先用「除以 n」的中心矩，方便手算。软件里的调整系数在符号表下面单独写。不要把两种峰度当成同一个数。

5. 简单收益、对数收益与复利

Rₜ = Pₜ/Pₜ₋₁ − 1, rₜ = ln(1 + Rₜ), R_(0→T) = ∏ₜ₌₁ᵀ(1 + Rₜ) − 1

符号	含义
Pₜ	第 t 日复权价格
Rₜ	简单收益
rₜ	对数收益

推导：ln(P_T/P₀) = Σₜ₌₁ᵀ ln(Pₜ/Pₜ₋₁) = Σ rₜ。指数回去得到 P_T/P₀ − 1 = exp(Σ rₜ) − 1，这和连乘简单收益是同一段财富。

手算。 连续两天 +10%、−10%。

R = 1.10 × 0.90 − 1 = −1%

r = ln 1.10 + ln 0.90 = ln 0.99 = −0.0100503

exp(−0.0100503) − 1 = −1%

对数收益加总再指数化，回到同一个 −1%。单看对数收益的 −1.005%，会比账户亏损多报 0.005 个百分点。再看一个大跳跃：+50% 的对数收益是 ln 1.5 = 0.405465，约 40.55%，和简单收益差将近 10 个百分点。

6. 年化波动、自相关与 √252

s = √(1 / (n − 1) Σₜ₌₁ⁿ(Rₜ − ¯R)²), σ_iid = s √N

N 是要放大的期数：日收益放到一年用 252，月收益用 12。

若日收益还有自相关 ρⱼ，多期方差不再是 N 倍日方差。只保留一阶、并且 |ρ₁| 不大时，常用近似是：

σ_adj ≈ s √N √(1 + 2ρ₁)

这是 Lo (2002, Financial Analysts Journal 58(4)) 讨论年化夏普时的同一类修正。更高阶自相关不为零时，根号里要换成 1 + 2 Σⱼ₌₁^k(1 − j/N) ρⱼ。本章的种子数据只报告 ρ₁，不把近似式的输出写成修正后的官方波动。

手算。 日标准差 1%，ρ₁ = 0，N = 252：

σ_iid = 0.01 × √252 = 0.01 × 15.8745 = 15.8745%

若 ρ₁ = −0.10：

√(1 + 2 × (−0.10)) = √0.80 = 0.8944

σ_adj ≈ 15.8745% × 0.8944 = 14.20%

负自相关把长期波动降下来。用独立假设去设止损，止损会比真实的周波动更宽。

7. 偏度与峰度

除以 n 的中心矩：

mₖ = 1/n Σₜ₌₁ⁿ(Rₜ − ¯R)^k, Skew = m₃ / (m₂^(3/2)), Kurt = m₄/m₂²

符号	正态参照	软件里容易混的名字
Skew	0	pandas.Series.skew 还会乘 √(n(n − 1)) / (n − 2)，大样本才和 m₃ / m₂^(3/2) 几乎相同
Kurt	3	这是 Pearson 峰度。pandas.Series.kurt 默认是超额峰度，正态参照是 0

手算。 五日简单收益 −4%, −1%, 0, +1%, +2%。

¯R = (−0.04 − 0.01 + 0 + 0.01 + 0.02) / 5 = −0.004

离差：−0.036, −0.006, 0.004, 0.014, 0.024。

m₂ = (0.036² + 0.006² + 0.004² + 0.014² + 0.024²) / 5 = 0.000424

m₃ = ((−0.036)³ + (−0.006)³ + 0.004³ + 0.014³ + 0.024³) / 5 = −6.048 × 10⁻⁶

Skew = (−6.048 × 10⁻⁶) / (0.000424^(1.5)) = −0.693

左偏来自那一个 −4% 的日子。同一组数的 Pearson 峰度只有 2.28，低于正态的 3。五点样本里的一次下跌，不够把四阶矩抬过钟形。肥尾要用长样本看，不能靠一个故事。

8. 从日超额到 t 值

与 M00、metrics.py 相同的年化夏普：

SR = (¯R − r_f/252) / s × √252

日超额均值的经典 t 统计量（独立同分布、标准误 s/√n）是：

t = ((¯R − r_f/252) / (s/√n)) = (((¯R − r_f/252) / s) √n) = SR × √(n/252)

最后一步因为 SR 里已经乘过 √252，而 n/252 就是这段样本的年数 Y。所以：

t = SR × √Y

这是「均值是否为 0」的 t，波动用样本标准差，但标准误公式仍假设日收益独立。它不是 Lo 给夏普估计量本身准备的标准误。两者在第 12 节分开。

手算。 年化夏普 0.8。

t = 2 ⇒ Y = (2/0.8)² = 6.25 年

t = 3 ⇒ Y = (3/0.8)² = 14.0625 年

三年回测、夏普 1.5：t = 1.5 √3 = 2.598。二十年、夏普 0.6：t = 0.6 √20 = 2.683。证据强度接近，但二十年跨过更多制度，M08 会把这一点放进先验，而不是只比 t。

9. 四点样本的 OLS

一元回归，带截距：

yₜ = α + β xₜ + εₜ

斜率是中心化之后的最小二乘：

ˆβ = (Σₜ(xₜ − ¯x)(yₜ − ¯y)) / (Σₜ(xₜ − ¯x)²), ˆα = ¯y − ˆβ¯x

残差方差用自由度 n − 2：

s² = 1 / (n − 2) Σₜ ˆεₜ², SE(ˆβ) = s / √(Σₜ(xₜ − ¯x)²)

t_β = ˆβ / SE(ˆβ)

几何上，OLS 把 y 投到 (1, x) 张成的平面，残差和这两列都正交。M06 的因子正交化用的是同一件事：先把一个因子对另一个因子回归，再取残差。

手算。 x 为市场超额，y 为资产超额，四个点：

t	x	y
1	0.01	0.015
2	−0.02	−0.018
3	0.02	0.030
4	0.00	−0.004

¯x = 0.0025, ¯y = 0.00575

中心化后的交叉乘积之和是 0.0010525，x 的离差平方和是 0.000875。

ˆβ = 0.0010525/0.000875 = 1.20286

ˆα = 0.00575 − 1.20286 × 0.0025 = 0.002743

脚本给出 t_β = 6.16、R² = 0.950、自由度 2。自由度为 2 时，双侧 5% 的 t 临界值约 4.30，不是 1.96。这个 R² 只说明四个点几乎共线，不能外推到下一周。

下面的片段复现第 7 节和第 9 节。数字已与脚本输出对照。

import math

import numpy as np

toy = np.array([-0.04, -0.01, 0.00, 0.01, 0.02])
center = toy - toy.mean()
m2 = np.mean(center**2)
skew = np.mean(center**3) / m2**1.5
print(round(float(toy.mean()), 3), round(float(skew), 3))  # -0.004  -0.693

x = np.array([0.01, -0.02, 0.02, 0.00])
y = np.array([0.015, -0.018, 0.030, -0.004])
design = np.column_stack([np.ones(len(x)), x])
alpha, beta = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)[0]
print(round(float(alpha), 6), round(float(beta), 5))  # 0.002743  1.20286
print(round(math.log(1.5), 6))  # 0.405465

10. 种子数据上的分布与一元回归

图和数字来自 knowledge/Labs/momentum_plus_lab/seed_data/ 的复权收盘价，窗口 2014-01-03 至 2026-09-28，共 3202 个日收益。复现：

uv run python knowledge/books/figures/M01/plot_returns_and_capm.py

SPY 日简单收益（总收益，不扣无风险利率）：

统计量	数值	读法
日均	0.000572	算术平均，不是 CAGR
日标准差	0.01079	样本标准差，分母 n − 1
按独立假设的年化波动	17.12%	0.01079 × √252
一阶自相关	−0.114	√252 会高估这段样本的长期波动
矩偏度	−0.311	左偏
Pearson 峰度	17.39	正态是 3；超额峰度 14.39
日收益 ≤ −3%	35 天	同均值同方差的正态参照约 7.4 天
日收益 ≤ −5%	6 天	正态参照约 0.004 天

2020-03-16，该 SPY 序列相对前一交易日的收益是 −10.94%（312.61 / 351.02 − 1）。2019 年同一序列的日标准差是 0.788%，年化 12.51%。按 2019 年的波动，这一天是 −13.9 个标准差。这是 ETF 复权收盘价，不是标普 500 价格指数的官方日涨跌；两条序列不要加在一起引用。

右图的回归把两边都减去 0.04/252，得到日超额。斜率对「两边减去同一个常数」不变。

	OLS	Newey–West，L = 8
ˆβ	1.181	点估计相同，标准误不同
ˆα（每日）	0.000443	同上
t(ˆβ)	58.12	40.55
t(ˆα)	2.021	1.956
R²	0.513	不因标准误而改变

L = ⌊4(T/100)^(2/9)⌋，T = 3202 时得到 8。这是 Newey 与 West 建议过的一种滞后阶数，不是唯一选择。滞后改了，t 会改。

读这张表的方式：大约一半的 AAPL 日波动和 SPY 同向；β 的 t 值在 HAC 之后仍然很大。α 的普通 t 值刚过 2，HAC 之后降到 1.96 以下。无风险利率在 2014–2021 年远低于 4%，在 2023 年之后高于 4%，整段用一个 4% 会扭曲超额的水平。因此这个 α 只用来比较两种标准误，不能写成「苹果在样本里有显著超额」。换一只股票再做一次，就进入下一节的多重检验。

11. 一次检验和五十次检验

原假设 H₀ : α = 0。t 值是估计量除以它的标准误。双侧 p 值是「若原假设为真，出现这么极端的 t 的概率」。p = 0.03 的意思是：在 α 真的为 0、模型也设对了的前提下，这样的样本大约 3% 的机会出现。它不是「策略有 97% 的概率有效」。

大样本双侧 5% 的临界值是 1.96。t = 2.1 的正态双侧 p 值是 0.0357，单次检验会拒绝原假设。

若这 2.1 是 50 组参数里最好的一组，Bonferroni 把显著性水平除以尝试次数：

α_one = 0.05/50 = 0.001

标准正态双侧 0.001 的临界值是 3.291。2.1 低于 3.291，这组参数过不了整体 5% 的门槛。Harvey, Liu & Zhu (2016, RFS 29(1)) 在因子发表的语境里把经验门槛放到 t > 3 附近，理由是全行业已经试过很多次。个人研究日志要记下尝试次数，这是 docs/workflow.md 里的纪律。控制错误发现率（Benjamini–Hochberg–Yekutieli）比 Bonferroni 宽，M08 再比较这些修正。Deflated Sharpe Ratio（Bailey & López de Prado, 2014, JPM 40(5)）把尝试次数、偏度和峰度同时放进夏普的概率。可核对的月频例子在 M08：年化夏普 1.20、T = 120、M = 100 时，相对 0 是 0.999555，紧缩之后是 0.659086。不要把这一个概率当成短样本的固定折扣。

12. Newey–West 在改哪一个数

连着拍的照片会把同一次颠簸数成很多张。波动聚集和自相关就是这样：今天的残差像昨天，日历上的 T 虚增了。 三明治公式先把这些连拍挤干，再重算标准误。斜率不动，动的是 t 值里的水分。 HAC 不是把系数往零缩的收缩估计。点估计仍是普通回归的那一个。 第 10 节里 β 的 t 从 58 降到 41，α 的 t 从 2.02 降到 1.96，就是挤掉水分之后的读法。

金融残差常常方差聚集，也常常自相关。普通 OLS 标准误假定残差独立、同方差。这两条不成立时，t 值会偏大。Newey & West (1987, Econometrica 55(3)) 用 Bartlett 核估计得分的长期方差：

ˆVar(ˆβ) = 1/T(X′X/T)⁻¹ ˆS (X′X/T)⁻¹

ˆS = ˆΓ₀ + Σⱼ₌₁ᴸ(1 − j / (L + 1))(ˆΓⱼ + ˆΓⱼ′), ˆΓⱼ = 1/T Σₜ₌ⱼ₊₁ᵀ xₜ eₜ eₜ₋ⱼ xₜ₋ⱼ′

点估计 ˆα, ˆβ 不变，变的是标准误。第 10 节里 β 的 t 从 58 降到 41，结论仍是「斜率明显不为 0」。α 的 t 从 2.02 降到 1.96，结论从「刚过线」变成「不过线」。HAC 不是把系数缩小的收缩估计。

statsmodels 在本仓库的 ml 可选依赖里，默认环境不一定装了。教学脚本用 NumPy 实现了上面的三明治，避免为了一个 t 值去改环境。若已安装，对照写法是 OLS.fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": L})。两边的小样本自由度修正可能差在第三位，比较时要看文档里除的是 T 还是 T − k。

13. 平稳与协整：先写对原假设

单位根像广场上乱走的醉汉：下一步从现在的位置出发，价格水平自己不回到原点。 平稳像拴在木桩上的弹簧：拉开以后，期望会往桩的方向缩。 协整是醉汉用狗绳牵着狗。人和狗各自都在乱走，两者的距离被绳子约束，这个距离可以是平稳的。 绳子的比例若是你看着两条价格凑出来的，残差检验要比普通 ADF 更严，临界值用 MacKinnon 的协整表。 自己跑一次 adfuller，p 值对不上那张表。

ADF 的原假设是「有单位根」。p 值小，才是拒绝单位根、支持平稳的证据。p 值大，只是没有拒绝，不是证明随机游走。股价的水平通常不拒绝单位根，收益通常会拒绝。检验的是你放进去的那一列，把价格和收益弄反，结论会整个翻过来。

协整（Engle & Granger, 1987, Econometrica 55(2)）：两个本身不平稳的序列，存在一个系数使残差平稳。Engle–Granger 两步法的原假设是「不存在协整」。残差上的临界值不是普通 ADF 表，要用 MacKinnon 的协整临界值。statsmodels.tsa.stattools.coint 做的是这件事。对两只高相关股票的价差直接跑 adfuller，p 值没有表格上的含义。

相关 0.95 只说明两条价格常常同向。同向可以来自共同的市场因子，价差仍然可以漂走。配对交易要先看到残差平稳，再谈均值回归的持有期。样本里的协整到了样本外会消失，M02 把这当成策略风险，而不是统计附录。

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🔴 深入层：边界与争论

14. 夏普自己的标准误

Lo (2002) 在独立正态的假设下给出，与收益同一频率的夏普估计量满足：

SE(ˆSR) ≈ √((1 + SR²/2) / T)

T 是计算这个夏普时用的期数。年收益算出来的年化夏普，T 才是年数。日收益年化后再把年数代进这条公式，把两套频率混在了一起。

手算。 用五年的年收益估计，真实夏普按 1 计：

SE = √((1 + 0.5) / 5) = √0.3 = 0.5477

正态近似的 95% 区间大约是 1 ± 1.96 × 0.5477，即 [−0.074, 2.074]。五年夏普等于 1，区间仍然跨过 0。这就是「夏普 1 听起来很好，统计上可能什么都没说」。

在原假设 SR = 0 下，Lo 的标准误退回 √(1/T)，ˆSR / SE 回到第 8 节的 t = SR √T。多出来的 SR²/2 影响的是「已知夏普不为零时，估计有多准」，不是零假设的检验临界值。日频年化时，SR_daily 很小，SR²/2 几乎可以忽略，年化夏普的标准误接近 1/√Y。把年化夏普 1 和 T = 5 直接代进 Lo 公式，会把标准误从大约 0.45 抬到 0.55，属于频率用错，不是更保守的美德。

自相关会再改这个标准误。种子数据 ρ₁ = −0.114，独立假设不成立。本章报告方向，不另造一个「调整后夏普」。

15. 非正态、收缩与自助法

t 临界值 1.96 来自正态或大样本。Pearson 峰度 17 的日收益上，用正态去算「五年内不可能出现的跌幅」，第 10 节已经给出反例：≤ −5% 的天数，正态预期 0.004，实际 6。VaR 若只用 μ − 2.33σ，会沿用这个错误。M04 改用历史分位或预期亏损。

协方差矩阵在资产数接近样本数时会病态。Ledoit & Wolf (2004, Journal of Multivariate Analysis 88(2)) 把样本协方差向一个结构化目标收缩。那是 M11 的输入，本章只记住：样本相关矩阵的特征值不要直接拿去优化。

独立同分布自助法会打乱时间顺序，把波动聚集抽没。时间序列要用块自助法（Künsch, 1989, The Annals of Statistics 17(4)），块长本身是一个选择。块长没写进实验记录，区间就不能和别人比。

16. 标准误之争对个人研究的含义

经济学界对 HAC 的滞后、对聚类标准误的层级有持续争论。落到个人港美股研究，实用的次序是：

1. 先去掉前视和复权错误。这类错误比 HAC 大一个数量级。
2. 日频或月频因子回归报告 HAC，滞后规则写进笔记。
3. 尝试次数写进日志，再谈 t 是 2 还是 3。
4. α 的点估计要配无风险利率的口径。整段样本用一个常数利率，只能做标准误的演示。

17. 手写 NumPy 与 scipy / statsmodels 对照

第 9 节到第 13 节的数字都由 NumPy 算出来。scipy 和 statsmodels 在默认环境里不一定装了。下表左边是本节要核对的打印，右边是装上之后的标准调用。没装时，脚本打印 skipped，不改左边的数。

任务	纯 NumPy 六位打印	标准调用
Jarque–Bera	0.507256	scipy.stats.jarque_bera
四点 OLS 的 t	0.936329，6.159290	OLS.fit() 的默认协方差
同一四点，HAC，L = 1	1.352122，14.034377	OLS.fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 1})
ADF 回归的系数和 t	-2.300000，-23.000000	adfuller(..., maxlag=0, regression="c", autolag=None)
Engle–Granger 斜率与残差 t	2.017143，-3.143195	coint(..., trend="c", autolag=None)

Jarque–Bera 用第 9 节那五个收益 −0.04, −0.01, 0, 0.01, 0.02。矩偏度打印 −0.692728，Pearson 峰度 2.282129，和正文里收成三位的 −0.693、2.28 是同一组矩。n = 5 时

JB = n/6(S² + ((K − 3)²) / 4) = 0.507256

正态参照仍是 Pearson 峰度 3。这个统计量很小，五个点说明不了肥尾。

四个点的斜率仍是 1.20286，截距仍是 0.002743。普通 t 是 0.936329 和 6.159290。L = 1 的 Bartlett 三明治把 t 变成 1.352122 和 14.034377。点估计没有变。这个小样本里 HAC 把 t 抬高了，和第 10 节把 α 的 t 从 2.021 降到 1.956 方向相反。三明治改的是标准误，残差怎样相关，t 就朝哪边动。statsmodels 若再做小样本修正，第三位可能不同，比较时要看协方差除的是 T 还是 T − k。

ADF 的教学序列是 1.0, 1.1, 0.9, 1.2, 0.8, 1.3。回归是 Δ yₜ = a + ρ yₜ₋₁ + eₜ，没有再加滞后差分。ˆρ = −2.300000，t = -23.000000。自由度只有 3。-23 不是「已经证明平稳」，临界值也不是 1.96。adfuller 还会给出 MacKinnon 的 p 值，那一列才是单位根检验的读法。

协整的两列是 x = (1, 2, 3, 4, 5, 6)，y = (2.0, 3.9, 6.1, 8.0, 9.8, 12.2)。第一步斜率 2.017143。残差再做上面那种 ADF 回归，t = -3.143195。Engle–Granger 的原假设是没有协整，临界值用 MacKinnon 的协整表，比普通 t 更严。-3.143195 只说明残差回归的算术，不能在这里拒绝「没有协整」。coint 做的是带那张表的检验。

可选库没装上时，对照行降级成这四句，手算的六位不变：scipy_jb skipped，statsmodels_hac skipped，statsmodels_adf skipped，statsmodels_coint skipped。

def library_reference() -> None:
    """手写结果始终打印。库未安装时只打印 skipped，不改前面的六位。"""
    toy = np.array([-0.04, -0.01, 0.00, 0.01, 0.02])
    stat, skew, kurt = jarque_bera(toy)
    print("jb", f"{stat:.6f}", "skew", f"{skew:.6f}", "kurt", f"{kurt:.6f}")
    try:
        from scipy import stats

        scipy_stat, _p = stats.jarque_bera(toy)
        print("scipy_jb", f"{float(scipy_stat):.6f}")
    except ImportError:
        print("scipy_jb", "skipped")
    try:
        import statsmodels.api as sm
        from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, coint

        fit = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit(
            cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 1},
        )
        print("statsmodels_hac_t", f"{float(fit.tvalues[0]):.6f}")
        adf_out = adfuller(level, maxlag=0, regression="c", autolag=None)
        coint_out = coint(left, right, trend="c", autolag=None)
        print("statsmodels_adf_t", f"{float(adf_out[0]):.6f}")
        print("statsmodels_coint_t", f"{float(coint_out[0]):.6f}")
    except ImportError:
        print("statsmodels_hac", "skipped")
        print("statsmodels_adf", "skipped")
        print("statsmodels_coint", "skipped")

Deflated Sharpe 的一组月频手算不在这里重复。M08 第 10 节给出年化夏普 1.20、T = 120、M = 100 时，相对 0 的概率 0.999555，放进选择门槛之后是 0.659086。那一节的分位数同样用二分法，不依赖 scipy.stats.norm。

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真实案例

案例 1：1987-10-19，正态刻度外面的一天

Fortune（1993, Federal Reserve Bank of Boston, New England Economic Review）的表记录，标普 500 当日收盘相对前收 −20.47%，道琼斯工业指数约 −22.6%。文中同时描述了开盘不平衡、指数期货贴水和程序交易、组合保险之间的反馈。若拿日波动 1% 的正态钟形当尺子，−20.47% 大约在 20 个标准差之外；事前波动即使更高，这一天仍然不是「三年一遇的 2 倍标准差」。个人账户的含义：用「波动率 × 2」做唯一止损，会在这种日子里失去参照。M04 的回撤预算要按历史最差日和保证金规则一起写，而不是按正态分位。

案例 2：2020-03-16，同一套种子数据里的标准差

实验室 SPY 复权序列在 2020-03-16 的日收益是 −10.94%，相对 2019 年日波动 0.788% 为 −13.9 个标准差。2019 年年化波动只有 12.51%，按正态几乎不可能。实际样本里 ≤ −5% 的日子有 6 天，正态参照是 0.004 天。风控若在 2 月底还用 2019 年的波动设阈值，3 月中旬会连续触发，并且触发本身改变仓位，后面的样本不再是原来的分布。这是 M04 和 M11 要接过去的状态依赖，不是把峰度再报高一位。

案例 3：2022 年，相关从负号变成正号

Vanguard 的测算里，60% 标普 500 加 40% Bloomberg 美国综合债券指数的组合在 2022 年收益为 −16.1%（全球分散的 60/40 口径是 −15.7%）。同一年若把债券换成美国国债，别的机构会得到不同的百分比，例如 Morgan Stanley 用标普全收益和国债的口径写过 −17.5%。引用时必须带上指数对。机制是通胀和加息同时压低股票估值和债券价格，过去二十年里负的股债相关在这一年失效。用 2000–2021 年的相关矩阵去算 2022 年的组合波动，会低估实际亏损。M11 的滚动窗和压力窗就是针对这种换挡。

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方法论来源

概念	出处
夏普比率	Sharpe (1966), Journal of Business 39(1)；Sharpe (1994), JPM 21(1)
年化与自相关	Lo (2002), Financial Analysts Journal 58(4)
ARCH / GARCH	Engle (1982), Econometrica 50(4)；Bollerslev (1986), Journal of Econometrics 31(3)
协整与临界值	Engle & Granger (1987), Econometrica 55(2)；残差检验用 MacKinnon 临界值
Newey–West	Newey & West (1987), Econometrica 55(3)
多重检验	Harvey, Liu & Zhu (2016), RFS 29(1)
Deflated Sharpe	Bailey & López de Prado (2014), JPM 40(5)
协方差收缩	Ledoit & Wolf (2004), Journal of Multivariate Analysis 88(2)
块自助法	Künsch (1989), The Annals of Statistics 17(4)
Jarque–Bera	Jarque & Bera (1987), International Statistical Review 55(2)。五日例子的统计量是 0.507256
ADF	Dickey & Fuller (1979), JASA 74(366)。本节的 −23 是回归 t，不是 MacKinnon p 值
1987-10-19 收盘跌幅	Fortune (1993), Boston Fed New England Economic Review，表中 −20.47%
2022 年 60/40	Vanguard 测算：标普 500 + Bloomberg 美国综合债，−16.1%
本章图的样本	knowledge/Labs/momentum_plus_lab/seed_data/，2014-01-03 至 2026-09-28

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💡 思考回顾与巩固

核心认知纠偏

常见误区	反例	用法
p = 0.03 表示策略有 97% 的概率为真	p 值的条件是「原假设为真」	换一种说法：在 α=0 的世界里，这样的样本有多稀少
t > 2 就可以保留参数	50 次尝试后，双侧 5% 的 Bonferroni 临界值是 3.29；t = 2.1 的 p 值是 0.0357	日志里的尝试次数先写下来
pandas 的峰度，正态应该等于 3	Series.kurt 默认是超额峰度，正态参照是 0。本章矩估计的 Pearson 峰度，正态才是 3	写峰度时写上估计量的名字
四点回归 R² = 0.95 说明关系很强	自由度只有 2，临界 t 约 4.30。四个点的共线不构成外推	同时报告 n 和自由度
相关 0.95 就可以配对	相关不检验价差是否平稳。协整检验的原假设是「没有协整」，临界值也不是普通 ADF	用 coint 或 MacKinnon 临界值
年化夏普 1、样本 5 年，直接代入 Lo 公式	那条公式的 T 必须和夏普同一频率。日频年化夏普对应的年数标准误约 1/√5，不是 √(1.5/5)	先写明收益的频率
种子数据里 AAPL 的 α t 值刚过 2，所以有超额	HAC 后 t = 1.956，而且整段无风险利率被设成常数 4%	这张表只比较标准误

费曼自测

1. 为什么组合用简单收益加权，多期累加却用对数收益？
2. t = SR √Y 的 SR 必须是哪一种夏普，年数 Y 怎么从日频样本数得到？
3. Newey–West 改变了 α 的估计值吗？它在第 10 节的例子里改变了什么结论？
4. 正态参照说 ≤ −5% 的日子几乎不会出现，种子数据里出现了几次？这如何影响「2 倍标准差止损」？

自测要点

1. 组合在一天之内的盈亏是各资产简单收益乘以前一日权重。对数收益的加权和不会等于组合对数收益，除非权重退化或者收益无穷小。跨很多天把财富连起来时，对数收益相加等于价格比的对数，所以模型里常拿它做可加的噪声。记账仍用简单收益连乘。 2. 必须是先减日无风险利率、再除以样本标准差、再乘 √252 的那个夏普，也就是 `metrics.py` 的定义。Y = n/252，其中 n 是日收益个数。若夏普已经用月收益和 √12 年化，根号里就要用月数除以 12，不能再除一次 252。 3. 点估计不变。改变的是标准误和 t。第 10 节里 α 的 t 从 2.021 降到 1.956，双侧 5% 的结论从拒绝变成不拒绝。β 的 t 从 58 降到 41，结论不变。 4. 3202 天里有 6 天 ≤ −5%，正态参照约 0.004 天。2 倍标准差若按全样本日波动 1.08% 计算，大约是 −2.2% 的日子，阈值里面会挤进很多普通波动；若按 2019 年的低波动计算，2020-03-16 这种 −10.94% 会远远冲破，并且连续触发会改变后面的仓位。止损阈值要单独做历史压力，而不是正态换算。

四维习题

A. 概念题

1. 为什么组合日收益用简单收益加权，研究多期连加时却用对数收益？各举一个数值说明两者不能互换。
2. p = 0.03 能否说成「策略有 97% 的概率有效」？写出这个概率的条件。
3. 两只股票价格相关 0.95，是否足以做配对交易？应检验的原假设是什么，临界值为什么不是普通 ADF？
4. Pearson 峰度、超额峰度和 pandas.Series.kurt 各以什么数表示正态？

B. 计算题

1. 两天收益 +10%、−10%。给出简单收益累计、对数收益累计，以及对数收益指数化之后的简单收益。+50% 的对数收益是多少？
2. 年化夏普 0.8（定义同第 8 节）。t 达到 2 和达到 3 各需要多少年？三年夏普 1.5 与二十年夏普 0.6，哪一个 t 更大？
3. 50 次尝试里最好的 t 是 2.1，整体显著性水平 5%。Bonferroni 的单次 p 值门槛是多少？对应的正态临界 t 是多少？这组参数是否通过？
4. 用第 9 节的四个点，手算 ¯x, ¯y, ˆβ, ˆα。
5. 年收益频率上的夏普为 1、T = 5。Lo 的标准误是多少？95% 区间大约是什么？若有人把日频年化夏普代进同一公式，错在哪里？

C. 编程实战题

1. 读取 knowledge/Labs/momentum_plus_lab/seed_data/spy.csv 的 adj_close，计算 2014-01-03 至文件末日的日收益矩偏度、Pearson 峰度、≤ −5% 的天数，以及同均值同方差正态参照下的期望天数。不要把结果写回教材；把窗口和估计量名字写进自己的笔记。
2. 用同一目录能对上的 AAPL 复权价，对 SPY 做日超额回归，无风险利率先固定为年化 4% 并在输出里打印。同时打印 OLS t 值和滞后阶 L = ⌊4(T/100)^(2/9)⌋ 的 Newey–West t 值。
3. 把第 11 题的无风险利率改成 0 和 0.02，观察 β 是否变化、α 是否变化，并用一句话解释。

D. 个人实战思考题

1. 你的实验日志准备用哪三个字段记录一次尝试，才能在事后做 Bonferroni？
2. 港股日频策略若误用 √252，波动会被高估还是低估？你的数据里一年实际有多少个交易日，准备用哪个数？
3. 2022 年股债同跌之后，你还会把「股债相关为负」写进组合的长期假设吗？要保留的话，哪一种压力情景必须另算？

完整参考答案与解析

**A1.** 组合在 t 日的简单收益等于 `Σᵢ w_(i,t−1) R_(i,t)`。若把对数收益按同样权重相加，得到的不是 ln(1 + Σ w R)。数值：两资产等权，收益 +50% 与 −50%，组合简单收益是 0；对数收益 ln 1.5 + ln 0.5 = ln 0.75，等权平均约 −0.144，再指数化约 −13.4%，和组合的 0 不是一回事。多期则相反：价格 100 → 110 → 99，对数收益 ln 1.1 + ln 0.9 = ln 0.99 直接给出全段；简单收益必须 1.1 × 0.9 − 1 = −1%。 **A2.** 不能。0.03 是在「α 真为 0、回归设定正确、标准误口径也正确」的条件下，观察到当前或更极端样本的概率。策略为真的概率还取决于检验之前你有多相信它，以及你试了多少次。那是贝叶斯问题，p 值没有做这一步。 **A3.** 不足以。高相关只衡量同向波动。配对要问价差或回归残差是否平稳。Engle–Granger 的原假设是不存在协整。残差是估计出来的，单位根检验的临界值比普通 ADF 更严，要用 MacKinnon 协整临界值。相关 0.95 的两只股票可以因为同一个市场因子同涨同跌，价差仍有单位根。 **A4.** Pearson 峰度 m₄/m₂² 在正态下为 3。超额峰度是它减 3，正态下为 0。`pandas.Series.kurt` 默认是调整后的超额峰度，正态参照也是 0，而且和「除以 n」的矩估计在小样本上不同。本章五日例子的 Pearson 峰度是 2.28，不能和 pandas 的输出直接比，除非关掉调整并改成 Pearson。 **B5.** 简单累计 1.1 × 0.9 − 1 = −0.01。对数累计 ln 0.99 = −0.0100503。exp(−0.0100503) − 1 = −0.01。ln 1.5 = 0.405465。 **B6.** Y = (2/0.8)² = 6.25 年达到 t = 2；(3/0.8)² = 14.0625 年达到 t = 3。1.5 √3 = 2.598，0.6 √20 = 2.683。二十年、夏普 0.6 的 t 略大。这个比较假定夏普的定义就是第 8 节那一个，而且日收益独立。 **B7.** 门槛 0.05/50 = 0.001。标准正态双侧临界值 Φ⁻¹(0.9995) = 3.291。t = 2.1 的双侧 p 值是 0.0357，大于 0.001，不能通过。它仍小于 0.05，所以「单次看起来显著、五十次里的最优不显著」可以同时成立。 **B8.** ¯x = (0.01 − 0.02 + 0.02 + 0) / 4 = 0.0025。¯y = (0.015 − 0.018 + 0.030 − 0.004) / 4 = 0.00575。离差交叉乘积之和 0.0010525，离差平方和 0.000875，ˆβ = 1.20286，ˆα = 0.00575 − 1.20286 × 0.0025 = 0.002743。 **B9.** √((1 + 0.5) / 5) = √0.3 = 0.5477。区间约 1 ± 1.96 × 0.5477 = [−0.074, 2.074]。日频年化夏普已经乘过 √252，对应的「年」标准误在原假设附近约 1/√Y。把年化夏普 1 和 T = 5 直接代入，等于假装这 5 个观测是五年的年收益，并且把 SR²/2 按年化夏普的量级放了进去。 **C10–C12.** 参考实现读取种子文件。窗口以文件内的日期为准。

import math
from pathlib import Path

import numpy as np
import pandas as pd

SEED = Path("knowledge/Labs/momentum_plus_lab/seed_data")


def load_adj(name: str) -> pd.Series:
    path = SEED / "spy.csv" if name == "SPY" else SEED / "_cache" / f"{name}.csv"
    frame = pd.read_csv(path, parse_dates=["session"])
    return frame.set_index("session")["adj_close"].astype(float).sort_index()


def norm_cdf(x: float) -> float:
    return 0.5 * (1.0 + math.erf(x / math.sqrt(2.0)))


def ols_t(y: np.ndarray, x: np.ndarray) -> tuple[float, float, float, float]:
    design = np.column_stack([np.ones(len(x)), x])
    coef, *_ = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)
    resid = y - design @ coef
    dof = len(y) - 2
    sigma2 = float(resid @ resid) / dof
    xtx_inv = np.linalg.inv(design.T @ design)
    se = np.sqrt(np.diag(xtx_inv) * sigma2)
    t_stat = coef / se
    return float(coef[0]), float(coef[1]), float(t_stat[0]), float(t_stat[1])


def nw_t(y: np.ndarray, x: np.ndarray, lags: int) -> tuple[float, float]:
    # Bartlett 核。点估计与 OLS 相同，这里只返回 t。
    design = np.column_stack([np.ones(len(x)), x])
    coef, *_ = np.linalg.lstsq(design, y, rcond=None)
    resid = y - design @ coef
    scores = design * resid[:, None]
    n_obs = len(y)
    meat = scores.T @ scores
    for lag in range(1, lags + 1):
        weight = 1.0 - lag / (lags + 1.0)
        gamma = scores[lag:].T @ scores[:-lag]
        meat = meat + weight * (gamma + gamma.T)
    meat = meat / n_obs
    bread = np.linalg.inv(design.T @ design / n_obs)
    se = np.sqrt(np.diag(bread @ meat @ bread / n_obs))
    t_stat = coef / se
    return float(t_stat[0]), float(t_stat[1])


spy = load_adj("SPY")
r = spy.pct_change().dropna()
center = r - r.mean()
m2 = float(np.mean(center**2))
skew = float(np.mean(center**3) / m2**1.5)
kurt = float(np.mean(center**4) / m2**2)
std = float(r.std(ddof=1))
z_cut = (-0.05 - float(r.mean())) / std
print(r.index.min().date(), r.index.max().date(), len(r))
print("skew", round(skew, 3), "pearson_kurt", round(kurt, 2))
print("days_le_-5pct", int((r <= -0.05).sum()), "normal", round(len(r) * norm_cdf(z_cut), 4))

aapl = load_adj("AAPL")
both = pd.concat([spy.rename("SPY"), aapl.rename("AAPL")], axis=1, join="inner")
ret = both.pct_change().dropna()
for rf in (0.04, 0.0, 0.02):
    daily = rf / 252.0
    y = (ret["AAPL"] - daily).to_numpy()
    x = (ret["SPY"] - daily).to_numpy()
    alpha, beta, t_a, t_b = ols_t(y, x)
    lags = int(math.floor(4.0 * (len(y) / 100.0) ** (2.0 / 9.0)))
    nw_a, nw_b = nw_t(y, x, lags)
    print(
        "rf", rf, "beta", round(beta, 3), "alpha_bps", round(alpha * 1e4, 2),
        "t_ols", round(t_a, 3), round(t_b, 2),
        "t_nw", round(nw_a, 3), round(nw_b, 2), "L", lags,
    )

β 在三档无风险利率下相同，因为两边减去同一个常数不改变协方差和方差。α 会变：ˆα(c) = ¯y − c − ˆβ ¯x − c = ˆα(0) − c(1 − ˆβ)。β 约 1.18 时，提高 c 会把 α 抬高一点。这就是第 12 题要看到的现象。 **D13.** 三个字段：假设（写在看结果之前）、参数网格或规则变体的个数、是否使用了同一段样本。Bonferroni 的 m 是「会让你留下最优者」的全部尝试，包括看完结果后删掉的那些。只记录最后留下的一组，修正没有对象。 **D14.** 港股一年交易日通常少于 252。用 √252 去乘港股日标准差，会把年化波动估高。正确的做法是用你这只股票在该自然年里实际有行情的天数，或者在笔记里固定一个写明的港股交易日惯例，并且全库一致。不要混用美股 252 和港股实际天数去比较两个市场的夏普。 **D15.** 长期平均相关可以为负，2022 年说明这个平均不能当作每一年的风险。必须另算「股票与债券同时下跌」的压力窗，用 2022 年的实现相关或一个相关设为 +0.5 的情景，再看组合回撤。只把 2000–2021 年的相关矩阵放进优化器，会重复那一年的低估。

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📌 章节知识总结

一句话核心洞察

1. 组合用简单收益加权，多期对数收益只用于可加的统计模型；净值仍由简单收益连乘。
2. t = SR √Y 里的夏普要和 metrics.py 一致，Y = n/252。这是均值的 t，不是 Lo 的夏普区间。
3. 正态峰度是 3 还是 0，取决于你报的是 Pearson 还是超额。种子数据的 Pearson 峰度是 17.39。
4. 五十次尝试之后，t = 2.1 过不了 Bonferroni 的 3.29。尝试次数写在看到结果之前。
5. Newey–West 不改变 ˆα 和 ˆβ。AAPL 对 SPY 的 α t 值从 2.021 降到 1.956，结论因此改变。

公式与参数速查

名称	表达式	前提
简单 / 对数	R = Pₜ/Pₜ₋₁ − 1，r = ln(1 + R)	价格已复权
独立年化波动	s √252 或 s √12	与数据频率匹配；日收益弱相关
一阶修正	s √N √(1 + 2ρ₁)	只适合作为方向；高阶相关未纳入时不要当正式波动
夏普	(¯R − r_f/252) / s · √252	同 metrics.py
t 与夏普	t = SR √Y，Y = n/252	独立同分布的经典标准误
矩偏度 / Pearson 峰度	m₃ / m₂^(3/2)，m₄/m₂²	除以 n；正态峰度为 3
OLS 斜率	中心化后的协方差比	残差方差分母 n − k
Bonferroni	0.05/m；m = 50 时临界约 3.29	大样本正态，控制族错误率
Newey–West 滞后	L = ⌊4(T/100)^(2/9)⌋	规则之一；本章样本 T = 3202 时 L = 8
Lo 标准误	√((1 + SR²/2) / T)	T 与 SR 同一频率
ADF 原假设	有单位根	p 小才支持平稳
协整原假设	没有协整	临界值用 MacKinnon，不是普通 ADF
五日 Jarque–Bera	0.507256	偏度 −0.692728，Pearson 峰度 2.282129
四点 HAC，L = 1	t 为 1.352122 与 14.034377	点估计仍是 0.002743 与 1.20286
本章 SPY ≤ −5%	6 天 / 正态参照 0.004 天	2014-01-03 至 2026-09-28 的种子复权价

跨模块联结

本章结论	下游	工程落点
夏普与年化定义	M00 已用，M03 的绩效表继续用	src/quant/backtest/metrics.py
t 与尝试次数	M08 的因子门槛	docs/workflow.md
HAC 与时序回归	M06	研究脚本要声明滞后阶
协整不是相关	M02 配对	检验用协整临界值
肥尾与相关换挡	M04、M11	回撤和压力相关，不只是 σ
图的数据	动量 Plus 实验室	knowledge/Labs/momentum_plus_lab/seed_data/

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学习指引

概念卡片：夏普比率 · 最大回撤

• 对照原书：GK 附录 C 笔记 看收益和回归在主动管理书里的角色；因子第 2 章笔记 看 Newey–West 将在 M06 哪里被当成默认标准误。
• 回查时机：M03 对绩效表，M02 对协整，M06 对回归和 HAC，M08 对 t > 3，M11 对收缩协方差。
• 下一步：若要做策略，先读 M02。统计定义不够用时再回到本章，不必按页读完。

自检清单

• 能手算两天 +10%、−10% 的简单收益和对数收益
• 能说出 t = SR √Y 和 Lo 标准误各用在什么频率
• 能解释 Bonferroni 下 t = 2.1、m = 50 为什么不显著
• 能指出 pandas 超额峰度和 Pearson 峰度的正态参照
• 跑过第 10 节的脚本或习题代码，窗口与教材一致
• 能复述 Jarque–Bera 0.507256、ADF 回归 t -23.000000，以及未安装时的 scipy_jb skipped
• 能说明 AAPL 回归里 HAC 改变的是 t 值，不是 β
• 引用 1987 或 2022 时能说出来源和口径